The tree lattice existence theorems

Let X be a locally finite tree, and let G = Aut(X). Then G is a locally compact group. In analogy with Lie groups, Bass and Lubotzky conjectured that G contains lattices, that is, discrete subgroups whose quotient carries a finite invariant measure. Bass and Kulkarni showed that G contains uniform lattices if and only if G is unimodular and G\X is finite. We describe the necessary and sufficient conditions for G to contain lattices, both uniform and non-uniform, answering the Bass–Lubotzky conjectures in full. To cite this article: L. Carbone, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 335 (2002) 223–228.  2002 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS Les théorèmes d’existence de réseaux associés aux arbres Résumé Soit X un arbre localement fini, et soit G = Aut(X). Alors G est un groupe localement compact. Par analogie avec les groupes de Lie, Bass et Lubotzky ont conjecturé que G contient des réseaux, c’est-à-dire des sous-groupes discrets dont le quotient porte une mesure invariante finie. Bass et Kulkarni ont montré que G contient des réseaux uniformes si et seulement si G est unimodulaire et G\X est fini. Nous décrivons les conditions nécessaires et suffisantes pour que G contienne des réseaux, non seulement uniformes mais aussi non-uniformes, prouvant ainsi complètement les conjectures de Bass et Lubotzky. Pour citer cet article : L. Carbone, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 335 (2002) 223–228.  2002 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS Version française abrégée Soit X un arbre localement fini, et soit G = Aut(X). Alors G est un groupe localement compact avec stabilisateurs de sommets compacts et ouverts. Soit μ une mesure de Haar invariante à gauche sur G. Un sous-groupe discret de G est appelé un G-réseau si μ( \G) est finie ; on dira de plus que est un G-réseau uniforme (ou cocompact) si \G est compact, et qu’il est un G-réseau non-uniforme dans le cas contraire. Par analogie avec les groupes de Lie, Bass et Lubotzky ont conjecturé que le groupeG= Aut(X) contient des G-réseaux. Bass et Kulkarni on montré [3] que G contient des réseaux uniformes si et seulement si G est unimodulaire et G\X est fini. Dans cette Note, nous décrivons les conditions nécessaires et suffisantes pour que G contienne des réseaux, non seulement uniformes mais aussi non-uniformes, prouvant ainsi E-mail address: [email protected] (L. Carbone).  2002 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés S1631-073X(02)02474-3/FLA 223 L. Carbone / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 335 (2002) 223–228 complètement les conjectures de Bass et Lubotzky. Les détails de ces résultats se trouvent dans les travaux [2,6–8], et [9]. Un sous-groupe G est discret si et seulement si x est un groupe fini pour chaque x ∈ VX. Pour G discret, on définit